Question

(本题满分12分) 
已知a∈R，函数f(x)＝4x³－2ax＋a.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|>0.

Answer 1

(1)函数f(x)的单调递增区间为和，
单调递减区间为.(2)见解析。

试题分析：（1）根据函数的导数符号与函数单调性的关系来判定求解其单调区间。
（2）要证明不等式恒成立问题，那么要转化为函数的最值问题来处理即可或者构造函数求解函数的 最小值大于零得到。
解：
(1)由题意得f′(x)＝12x²－2a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).
当a＞0 时，f′(x)＝12，此时
函数f(x)的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
(2)由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2.
当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2.
设g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x²－2＝6，于是

x	0
		-	0	+
	1	减函数	极小值	增函数	1

所以g(x)_min＝g＝1－＞0.
所以当0≤x≤1时，2x³－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x³－4x＋2＞0.
点评：对于含有参数的二次不等式问题的求解是解决导数中常见的非常重要的，注意对于开口和判别式的情况进行分类讨论得到结论。