精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
16.在四棱锥中P-ABCD,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD、E、F,分别为PC、BD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)若AB=2,求三棱锥E-DFC的体积.

分析 (1)连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于点F,推导出EF∥PA,由此能证明EF∥平面PAD.
(2)由VE-DFC=VF-EDC,能求出三棱锥E-DFC的体积.

解答 证明:(1)连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于点F,…(1分)
所以,在△PAC中,EF∥PA…(3分)
又PA?平面PAD,EF?平面PAD…(5分)
所以EF∥平面PAD…(6分)
解:(2)AB=2,则$PA=PD=\sqrt{2}$,
因为侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,且底面是正方形,
所以CD⊥平面PAD,则CD⊥PA,
由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA,
所以PA⊥平面PDC…(8分)
又因为EF∥PA,且$EF=\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
所以EF⊥平面EDC…(9分)
由CD⊥平面PAD得CD⊥PD,
所以${S_{△EDC}}=\frac{1}{2}{S_{△PDC}}=\frac{1}{2}×({\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…(11分)
从而${V_{E-DFC}}={V_{F-EDC}}=\frac{1}{3}{S_{△EDC}}•EF=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{6}$…(12分)

点评 本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知p:|1-$\frac{x-1}{3}$|≤2,q:(x-1+m)(x-1-m)<0(m>0)且q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形,D是斜边BC的中点,$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+m•\overrightarrow{AC}$,向量$\overrightarrow{AM}$的终点M在△ACD的内部(不含边界),则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$的取值范围是(-2,6).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且$cosA=\frac{3}{4},C=2A$.
(1)求sinB的值;
(2)若a=4,求△ABC的面积S的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为30°,且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow{b}$|=2,则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$等于(  )
A.$2\sqrt{3}$B.3C.$\sqrt{6}$D.$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.有下述说法:
①a>b>0是a2>b2的充要条件.
②a>b>0是$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$的充要条件.
③a>b>0是a3>b3的充要条件.
④a>b>0是$\sqrt{a}$>$\sqrt{b}$的充要条件.
则其中正确的说法有(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.已知数列{an}是首项为1,且公差不为0的等差数列,而等比数列{bn}的前3项分别是a1,a2,a6
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)如果b1+b2+b3+…+bn=5,求正整数n的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

6.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是10,则a的值是(  )
A.2B.3C.4D.5

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于MF2,则椭圆的离心率为$\sqrt{3}-1$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案