分析 (1)连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于点F,推导出EF∥PA,由此能证明EF∥平面PAD.
(2)由VE-DFC=VF-EDC,能求出三棱锥E-DFC的体积.
解答 证明:(1)连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于点F,…(1分)
所以,在△PAC中,EF∥PA…(3分)
又PA?平面PAD,EF?平面PAD…(5分)
所以EF∥平面PAD…(6分)
解:(2)AB=2,则$PA=PD=\sqrt{2}$,
因为侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,且底面是正方形,
所以CD⊥平面PAD,则CD⊥PA,
由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA,
所以PA⊥平面PDC…(8分)
又因为EF∥PA,且$EF=\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
所以EF⊥平面EDC…(9分)
由CD⊥平面PAD得CD⊥PD,
所以${S_{△EDC}}=\frac{1}{2}{S_{△PDC}}=\frac{1}{2}×({\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…(11分)
从而${V_{E-DFC}}={V_{F-EDC}}=\frac{1}{3}{S_{△EDC}}•EF=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{6}$…(12分)
点评 本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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A. | $2\sqrt{3}$ | B. | 3 | C. | $\sqrt{6}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
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