Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

16

=1内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，求|PA|+|PF|的最大值与最小值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：涉及|PF|时，一般可以想到椭圆的定义，所以设该椭圆的右焦点为F′，则：|PF|+|PF′|=10，所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF′|．这时候可以作出图形，根据图形即可看出||PA|-|PF′||≤|AF′|=

2

，这样即可求得|PA|-|PF′|的最大值，最小值，从而求出|PA|+|PF|的最大值，最小值．

解答： 解：如图，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|+|PF′|=10；
∴|PA|+|PF|=|PA|+10-|PF′|=10+|PA|-|PF′|；
由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|-|PF′||=|AF′|=

2

，当P不在直线AF′上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，||PA|-|PF′||＜|AF′|=

2

；
∴||PA|-|PF′||≤

2

；
∴-

2

≤|PA|-|PF′|≤

2

；
10-

2

≤|PA|+|PF|≤10+

2

；
∴|PA|+|PF|的最大值为10+

2

，最小值为10-

2

．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边，及数形结合求最值．