Question

已知奇函数f（x）的定义域是R，且f（x）=f（1-x），当0≤x≤

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2

时，f（x）=x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的解析式；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于函数为定义在R上的奇函数，根据奇函数的性质可得：f（-x）=-f（x），结合f（x）=f（1-x），我们易得函数f（x）是周期函数；
（2）由当0≤x≤

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时，f（x）=x-x²．根据函数f（x）为奇函数，及f（x）=f（1-x），及（1）中的结论，即可求出求f（x）在区间[1，2]上的解析式；
（3）由函数是以2为周期的函数，故只需要求出一个周期内的值域即可，由（2）知，利用二次函数和分段函数求值域的方法即可求得结果．

解答：解：（1）f（x+2）=f（1-（x+2））=f（-x-1）=-f（x+1）=-f（1-（x+1））=-f（-x）=f（x），
所以f（x）是周期为2的函数．
（2）∵当x∈[

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，1]时，f（x）=f（1-x）=（1-x）-（1-x）²=x-x²，
∴x∈[0，1]时，f（x）=x-x²
∴当x∈[1，2]时，f（x）=f（x-2）=-f（2-x）=（2-x）²-（2-x）=x²-3x+2．
∴当x∈[1，2]时，f（x）=x²-3x+2．
（3）由函数是以2为周期的函数，故只需要求出一个周期内的值域即可，由（2）知

f(x)= x-x2   (0≤x≤1) x+x2   (-1≤x≤0)

，
故在[-1，1]上函数的值域是[-

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，

1

4

]，
故值域为[-

1

4

，

1

4

]．

点评：本题解析的关键点是根据函数的奇偶性，求函数在对称区间上的解析式，若已知函数的奇偶性，及函数在区间[a，b]上的解析式，求对称区间[-b，-a]上的解析式，一般步骤为：取区间上任意一个数，即x∈[-b，-a]，则-x∈[a，b]，由区间[a，b]上的解析式，写出f（-x）的表达式，根据奇函数f（-x）=-f（x）（偶函数f（-x）=f（x））给出区间[-b，-a]上函数的解析式，属中档题．