Question

在三角形ABC中，O是外心，I是内心，若∠BOC=∠BIC，则∠A=

 

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Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定

专题：直线与圆

分析：首先根据O为△ABC的外心，即⊙O为△ABC的外接圆，利用圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC；然后根据三角形的内切圆，得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理表示出∠IBC+∠ICB，进而求出∠A的度数即可．

解答：解：根据题意，0为△ABC的外心，
利用圆周角定理可得∠BOC=2∠A；
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-∠BOC=180°-2∠A，
又∵∠IBC+∠ICB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

(180°-∠A)=90°-

1

2

∠A，
∴180°-2∠A=90°-

1

2

∠A，
解得∠A=60°．
故答案为：60°．

点评：本题主要考查了圆周角定理在三角形的外接圆中的应用，考查了三角形的内心的性质，属于中档题，解答此题的关键是正确区分三角形的内外心．