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对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命题中正确的是(  )
A、函数f(x)的最大值为1
B、方程f(x)=
1
2
有且仅有一个解
C、函数f(x)是周期函数
D、函数f(x)是增函数
分析:在解答时要先充分理解[x]的含义,从而可知针对于选项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可,注意反例的应用.
解答:解:由题意可知:f(x)=x-[x]∈[0,1),∴函数f(x)的最大值为1,A不对;
又知函数每隔一个单位重复一次,所以函数是以1为周期的函数.
所以C正确,B不正确、有增有减D不正确.
故选C.
点评:本题考查的是分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、特值的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会反思.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2等,定义函数f(x)=x-[x],给出以下命题:
①函数f(x)的最小值为0;
②方程f(x)=
12
有且仅有一个解;
③函数f(x)是增函数;
④函数f(x)是周期函数.
其中正确命题的序号为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命题中正确的是
②③
②③
(填题号)
①函数f(x)的最大值为1;              
②函数f(x)的最小值为0;
③函数G(x)=f(x)-
12
有无数个零点;    
④函数f(x)是增函数.

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科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下列材料,然后解答问题;对于任意实数x,符号[x]表示“不超过x的最大整
数”,在数轴上,当x是整数,[x]是x,当x不是整数时,[x]是x左侧的第一个整数,这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯(Gauss)函数,如[-2]=-2、[-1.5]=-2、[2.5]=2  定义函数{x}=x-[x],给出下列四个命题;
①函数[x]的定义域是R,值域为[0,1];
②方程{x}=
12
有无数个解;
③函数{x}是周期函数;
④函数{x}是增函数.
其中正确命题的序号是
 
(写出所有正确结论的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:013

(2007北京东城模拟)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3[1.08]=2,定义函数{x}=x[x],则下列命题中正确的是

[  ]

A.函数{x}的最大值为1

B.方程有且仅有一个解

C.函数{x}是周期函数

D.函数{x}是增函数

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科目:高中数学 来源:北京市东城区2006-2007年学年度高三第一学期期末教学目标检测、数学(文科) 题型:013

对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2定义函数f(x)=x-[x]则下列命题中正确的是

[  ]

A.f(3)=1

B.方程有且仅有一个解

C.函数f(x)是周期函数

D.函数f(x)是增函数

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