Question

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（）=2．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于t≠0，可将曲线C的方程化为普通方程：+y²=4，分t=±1和t≠±1时，分别讨论曲线
的形状．
（Ⅱ）直线与切线方程联立，利用韦达定理，结合向量知识，可求实数t的值．
解答：解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：+y²=4．…（2分）
①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；              …（4分）
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（8分）
联立直线与曲线的方程，消y得+（x+4）²=4，化简得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3
又x₁+x2=-，x₁x₂=，…（                   …（10分）
故 =x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+4）（x₂+4）=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3与t²＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（12分）
点评：本题考查直线的参数方程，考查直线与曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．