Question

对数列{x_n}，满足x1=

4

5

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

；对函数f（x）在（-2，2）上有意义，f(

1

2

)=-2，且满足x，y∈（-2，2）时，有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，则数列{f（x_n）}是（　　）

• A、以-4为首项以2为公差的等差数列
• B、以-4为首项以2为公比的等比数列
• C、既是等差数列又是等比数列
• D、既不是等差数列又不是等比数列

Answer 1

分析：本题考查函数特殊值法、等比数列的概念及判定方法．由x，y∈（-2，2）时，有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，f(

1

2

)=-2，根据x1=

4

5

，我们可以求出f(x1)=f(

4

5

)的值，及

f(xn+1)

f(xn)

为一常数，则不难判断数列{f（x_n）}为一等比数列．

解答：解：由x1=

4

5

，结合已知可得0＜xn+1=

2xn

1+ x 2 n

=

2

1 xn +xn

≤1；
又f(

4

5

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=2f(

1

2

)=-4，
且f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn+xn

1+ x 2 n

)=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n），
于是

f(xn+1)

f(xn)

=2，
即{f（x_n）}是以-4为首项，以2为公比的等比数列．
故选B

点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．