Question

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ （半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高。本题结果精确到0.1米）。

Answer 1

解：（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），椭圆方程为 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得 ，此时 因此隧道的拱宽约为33.3米。
（2）由椭圆方程，得 因为，即，且 所以 当S取最小值时，有，得 此时 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小。