Question

（x²+

a

2x

）⁶展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y=x²和圆x²+y²=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S=

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用,二项式定理

分析：利用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．

解答： 解：因为（x²+

a

2x

）⁶展开式的中间项系数为20，中间项为第四项，系数为

C

3 6

(

a

2

)3=20，解得a=2，
所以曲线y=x²和圆x²+y²=2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为

π

4

-

∫

1 0

(x-x2)dx=

π

4

-（

1

2

x2-

1

3

x3）

|

1 0

=

π

4

-

1

6

；
故答案为：

π

4

-

1

6

．

点评：本题考查了二项式定理以及定积分求阴影部分的面积，属于常规题．