Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，得F（1，0），∴c=1，

又 ，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，

∴椭圆的方程为：

（2）解：显然l的斜率不为0，设l：x=my+1，

联立直线l与椭圆方程 ，化简，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0恒成立，

由韦达定理，得y1+y2= ，y1y2= ，

∴ =

=|y1﹣y2|

=

=

= ，

令t= ，t≥1，则m2=t2﹣1，

∴ = = ，

令 （t≥1），则 = ＞0，

∴u（t）在[1，+∞）上单调递增，

∴当t=1即m=0时，umin（t）=u（1）=4，（ ）max=3，

故当m=0时，△AF'B的面积的最大值为3

【解析】（1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过 及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；（2）由题设l：x=my+1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理，得 = ，利用换元法计算即可．