Question

函数f（x）是一次函数，且f（-1）=-1，f'（1）=e，其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在数列{a_n}中，a₁=f（1）-e，a_n+1=f（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=a_nln（a_2n-1+1），试求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）设f（x）=kx+b，则f′（x）=k
∵f（-1）=-1，f'（1）=e，
∴，∴
∴f（x）=ax+e-1；
（2）∵a_n+1=f（a_n），∴a_n+1=ea_n+e-1，∴a_n+1+1=e（a_n+1）
∴{a_n+1}是以e为公比，首项为e的等比数列
∴a_n+1=eⁿ，∴a_n=eⁿ-1；
（3）b_n=a_nln（a_2n-1+1）=（2n-1）eⁿ-（2n-1）
令T_n=e+3e²+…+（2n-1）eⁿ，则eT_n=e²+3e³+…+（2n-1）eⁿ⁺¹，
两式相减可得（1-e）T_n=e+2（e²+e³+…+eⁿ）-（2n-1）eⁿ⁺¹，
∴T_n=
∴S_n=．
分析：（1）设出函数解析式，利用f（-1）=-1，f'（1）=e，可得结论；
（2）证明{a_n+1}是以e为公比，首项为e的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用裂项法，可求数列{b_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查导数知识的运用，考查等比数列的证明，考查裂项法求数列的和，属于中档题．