Question

已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（-3）=a，试用a表示f（24）；
（3）若x＞0时f（x）＜0且f（1）=-

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，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，利用已知可得f（0）=0．再令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，可得f（-x）=-f（x）．
（2）利用奇函数的性质由f（-3）=a=-f（3），可得f（3）=-a，进而得到f（6）=2f（3），f（12）=2f（6），f（24）=2f（12）．
（3）先利用定义证明f（x）在R上单调递减．设x₁＜x₂，则x₂＞x₁，x₂-x₁＞0．利用已知可得f（x₂-x₁）＜0．进而得到f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）．即可．再利用f（1）=-

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，可得f（2）=2f（1）=-1，利用奇函数的性质可得f（-2）=-f（2）．再利用f（4）=2f（2），f（6）=f（4）+f（2）即可得出f（x）在区间[-2，6]上的最大值为f（-2），最小值为f（6）．

解答：（1）证明：∵当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．
再令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数；
（2）解：∵f（-3）=a=-f（3），∴f（3）=-a，
∴f（6）=2f（3）=-2a，f（12）=2f（6）=-4a，f（24）=2f（12）=-8a．
（3）解：下面证明f（x）在R上单调递减．
证明：设x₁＜x₂，则x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0．∴f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）．
∴f（x₂）＜f（x₁），∴函数f（x）在R上单调递减．
∵f（1）=-

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，∴f（2）=2f（1）=-1，∴f（-2）=-f（2）=1．
∴f（4）=2f（2）=-2，f（6）=f（4）+f（2）=-2-1=-3．
∴f（x）在区间[-2，6]上的最大值为f（-2）=1，最小值为f（6）=-3．

点评：本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、求值等基础知识与基本技能方法，属于难题．