Question

18．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）若y=f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}}]$上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足，y=g（x）在[a，b]上恰有30个零点，求b-a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的单调性，可得ω•（-$\frac{π}{4}$）≥-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，由此求得ω的范围．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，从而求得函数g（x）的零点，即可求b-a的取值范围．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0，若y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上单调递增，
则ω•（-$\frac{π}{4}$）≥-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，求得ω≤$\frac{3}{4}$，即ω的取值范围为（0，$\frac{3}{4}$]．
（2）令ω=2，将函数y=f（x）=2sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，可得函数y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的图象，
令g（x）=0，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈z，
求得x=kπ+$\frac{5π}{12}$ 或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，故函数g（x）的零点为x=kπ+$\frac{5π}{12}$或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z．
∴g（x）的零点相离间隔依次为$\frac{π}{3}$和$\frac{2π}{3}$，
∵y=g（x）在[a，b]上恰有30个零点，
∴b-a的最小值为$14×\frac{2π}{3}+15×\frac{π}{3}$=$\frac{43π}{3}$，
∵b-a$＜16×\frac{2π}{3}+15×\frac{π}{3}=\frac{47π}{3}$，
∴$\frac{43}{3}π≤b-a＜\frac{47π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．