Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=+log₂图象上任意两点，且=（+），已知点M的横坐标为，且有S_n=f（）+f（）+…+f（），其中n∈N^*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s₂，s₃，s₄及S_n；
（3）已知，其中n∈N^*，且T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n≤λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的最小正整数值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=（+）知M为线段AB的中点，由M的横坐标为得x₁+x₂=1，由此可求得y₁+y₂，从而可得点M的纵坐标；
（2）根据S_n=f（）+f（）+…+f（），分别令n=2，3，4即可求得s₂，s₃，s₄；由（1）知，由，得f（）+f（）=1，从而可求得2S_n；
（3）先表示出a_n，利用裂项相消法求得T_n，分离出参数λ后转化为求函数的最值可解决，利用基本不等式可得最值；
解答：解：（1）依题意，由=（+）知M为线段AB的中点，
又因为M的横坐标为，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴=，即x₁+x₂=1，
∴=1+log₂1=1，
所以=，
即点M的横坐标为定值；
（2）=，
=+=1，
=++=，
由（1）知，由，得f（）+f（）=1，
又S_n=f（）+f（）+…+f（）=f（）+f（）+…+f（），
所以2S_n=（n-1）×1，即S_n=（n∈N^*且n≥2）；
（3）当n≥2时，=，
又n=1时，也适合，
所以，
∴=4（）
=4（）=（n∈N*），
由≤λ恒成立（n∈N*）推得λ≥，
而==（当且仅当n=2取等号），
∴，∴λ的最小正整数为1．
点评：本题考查数列与不等式、数列与向量的综合，考查恒成立问题，考查转化思想，综合性强，难度较大．