Question

14．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），点P的坐标为$（3\sqrt{2}，0）$．
（1）试判断曲线C的形状为何种圆锥曲线；
（2）已知直线l过点P且与曲线C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$消去α，得曲线C的方程．．
（2）设直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{2}+tcos45°\\ y=tsin45°\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{25}+{y^2}=1$，得13t²+6t-7=0，从而$|PA|•|PB|=|{t_1}{t_2}|=\frac{7}{13}$．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$消去α，得$\frac{x^2}{25}+{y^2}=1$，则曲线C为椭圆．
（2）由直线l的倾斜角为45°，可设直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{2}+tcos45°\\ y=tsin45°\end{array}\right.$（其中t为参数），
代入$\frac{x^2}{25}+{y^2}=1$，得13t²+6t-7=0，
所以${t_1}{t_2}=-\frac{7}{13}$，从而$|PA|•|PB|=|{t_1}{t_2}|=\frac{7}{13}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线参数方程的参数含义，属于基础题．