Question

在平面直角坐标系xoy中，设二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为C．
（I）求实数b的取值范围；
（II）求圆C的一般方程；
（III）圆C是否经过某个定点（其坐标与b无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）令x=0得抛物线与y轴交点（0，b），令f（x）=x²+2x+b，由题意b≠0，且△=4-4b＞0，解得实数b的
取值范围．
（II）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x²+Dx+F=0，这与x²+2x+b=0是同一个方程，
故D=2，F=b．令x=0得，y²+Ey+F=0，此方程有一个根为b，代入得出E=-b-1，由此求得圆C的一般方程．
（III）圆C过定点（0，1）和（-2，1），证明：法1，直接将点的坐标代入验证．
法2，圆C的方程改写为x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令

x2+y2+2x-y=0 y=1

，求出定点的坐标．

解答：解：（I）令x=0得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x²+2x+b，由题意b≠0，
且△=4-4b＞0，解得b＜1，且b≠0．
即实数b的取值范围 {b|b＜1，且b≠0 }．
（II）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则此圆和坐标轴有3个交点，
即f（x）=x²+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴的三个交点．
令y=0得，x²+Dx+F=0，由题意可得，这与x²+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得，y²+Ey+F=0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E=-b-1，
所以圆C的一般方程为  x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．
（III）圆C过定点（0，1）和（-2，1）． 证明如下：
法1，直接将点的坐标代入验证，可得点（0，1）和（-2，1）的坐标是
圆的方程 x²+y²+2x-（b+1）y+b=0 的解，
故圆C过定点（0，1）和（-2，1）．
法2，圆C的方程改写为x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令

x2+y2+2x-y=0 y=1

，
解得

x=0 y=1

或

x=-2 y=1

，故圆C 过定点（0，1）和（-2，1）．

点评：本题主要考查求圆的方程，本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．