Question

在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连接AF、CE，则异面直线AF和CE所成角的正弦值为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2

  4

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．

解答：解：如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，
故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．
设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，
AF=

3

，KF=

1

2

CE=

3

2

．
AK=

AE2+KE2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．
∴cos∠AFK=

AF2+FK2 -AK2

2AF•FK

=

3+ 3 4 - 7 4

2× 3 ×  3 2

=

2

3

．
∴sin∠AFK=

1-cos 2∠AFK

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
故选D．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线AF和CE所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答案B．