Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．      
（Ⅰ）求点F₁关于直线l的对称点F₁′的坐标；
（Ⅱ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q 到F₂的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设F₁‘的坐标为（m，n），则

n

m+1

=-

1

2

且2•

m-1

2

-

n

2

+3=0．由此能求出点F₁′的坐标．
（Ⅱ）由|PF₁′|=|PF₁|，得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅲ）由

a2

c

=2，知椭圆的准线方程为x=±2．设点Q的坐标为（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示点Q到F₂的距离，d₂表示点Q到椭圆的右准线的距离．则

d1

d2

=

5t2+10t+10

|t-2|

=

5• t2+2t+2 (t-2)2

，令f(t)=

t2+2t+2

(t-2)2

，(-2＜t＜2)，则f′(t)=

(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)•2(t-2)

(t-2)4

=

-(6t+8)

(t-2)3

，由此能求出

d1

d2

最小值和此时点Q的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设F₁的坐标为（m，n），则

n

m+1

=-

1

2

且2•

m-1

2

-

n

2

+3=0．
解得m=-

9

5

，n=

2

5

，因此，点F₁′的坐标为（-

9

5

，

2

5

）．
（Ⅱ）∵|PF₁′|=|PF₁|，根据椭圆定义，
得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，
∴a=

2

，b=

2-1

=1．∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅲ）∵

a2

c

=2，∴椭圆的准线方程为x=±2．
设点Q的坐标为（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示点Q到F₂的距离，d₂表示点Q到椭圆的右准线的距离．
则d1=

(t-1)2+(2t+3)2

=

5t2+10t+10

，d₂=|t-2|．

d1

d2

=

5t2+10t+10

|t-2|

=

5• t2+2t+2 (t-2)2

，令f(t)=

t2+2t+2

(t-2)2

，(-2＜t＜2)，则f′(t)=

(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)•2(t-2)

(t-2)4

=

-(6t+8)

(t-2)3

，
∵当-2＜t＜-

4

3

，f′(t)＜0，-

4

3

＜t＜2，f′(t)＞0，t=-

4

3

，f′（t）＞0．
∴f（t）在t=-

4

3

时取得最小值．
因此，

d1

d2

最小值=

5•f(- 4 3 )

=

2

2

，此时点Q的坐标为（-

4

3

，

1

3

）（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用椭圆性质，注意合理地进行等价转化．