Question

【题目】设定义在（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=6．若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且 ，则a=（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】D
【解析】根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣log2x为定值，
设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x
又由f（t）=6，可得t+log2t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）= ，
又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，
所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣ 的零点，
分析易得F（1）=﹣ ＜0，F（2）=1﹣ =1﹣ ＞0，
故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，
所以答案是：1
【考点精析】掌握函数的零点与方程根的关系是解答本题的根本，需要知道二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．