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已知定义在R上的奇函数f(x),对任意实数x,满足f(x+2)=-f(x),且当0<x≤1时,f(x)=3x+1.
(Ⅰ)求f(0)、f(2)和f(-2)的值;
(Ⅱ)证明函数f(x)是以4为周期的周期函数;
(Ⅲ)当-1≤x≤3时,求f(x)的解析式(结果写成分段函数形式).
分析:(Ⅰ)由f(x+2)=-f(x),利用赋值法分别进行求值.
(Ⅱ)利用周期函数的定义证明周期.
(Ⅲ)利用周期性和奇偶性求解析式.
解答:解:(Ⅰ)因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
由f(x+2)=-f(x),得f(2)=-f(0)=0.
因为f(-2+2)=-f(-2)=f(0),
所以f(-2)=0.
(Ⅱ)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x),所以函数是周期函数,且周期为4.
(Ⅲ)因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x+2)=-f(x)=f(-x),所以函数关于x=1对称.
当-1≤x<0时,0<-x≤1,所以f(-x)=3-x+1=-f(x),所以此时f(x)=-3-x-1.
当0<x≤1时,f(x)=3x+1.
当1<x≤2时,-1<x-2≤0,此时f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)=32-x+1,
当2<x≤3时,0<x-2≤1,此时f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)=-[3x-2+1]=-3x-2-1.
综上f(x)=
-3-x-1,-1≤x<0
0,x=0
3x+1,0<x≤1
32-x+1,1<x≤2
-3x-2-1,2<x≤3
点评:本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用,考查分段函数的应用,综合性较强.
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1
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1
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]
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A.            B.

C.            D.

 

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(     )

(A)     (B)      (C)      (D)

 

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