Question

已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，满足f（x+2）=-f（x），且当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1．
（Ⅰ）求f（0）、f（2）和f（-2）的值；
（Ⅱ）证明函数f（x）是以4为周期的周期函数；
（Ⅲ）当-1≤x≤3时，求f（x）的解析式（结果写成分段函数形式）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x+2）=-f（x），利用赋值法分别进行求值．
（Ⅱ）利用周期函数的定义证明周期．
（Ⅲ）利用周期性和奇偶性求解析式．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
由f（x+2）=-f（x），得f（2）=-f（0）=0．
因为f（-2+2）=-f（-2）=f（0），
所以f（-2）=0．
（Ⅱ）由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=f（x），所以函数是周期函数，且周期为4．
（Ⅲ）因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x+2）=-f（x）=f（-x），所以函数关于x=1对称．
当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，所以f（-x）=3^-x+1=-f（x），所以此时f（x）=-3^-x-1．
当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1．
当1＜x≤2时，-1＜x-2≤0，此时f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=3^2-x+1，
当2＜x≤3时，0＜x-2≤1，此时f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=-[3^x-2+1]=-3^x-2-1．
综上f(x)=

-3-x-1，-1≤x＜0 0，x=0 3x+1，0＜x≤1 32-x+1，1＜x≤2 -3x-2-1，2＜x≤3

．

点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，考查分段函数的应用，综合性较强．