Question

如图所示，已知圆O：x²+y²=1，直线l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圆的一条切线，且l与椭圆

x2

2

+y2=1交于不同的两点A，B．
（1）若弦AB的长为

4

3

，求直线l的方程；
（2）当直线l满足条件（1）时，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知b=

1+k2

，又

y=kx+b x2+2y2-2=0

，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，由此解得k=1或k=-1（舍）．所以求直线l的方程为x-y+

2

=0．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=2x1x2+

2

(x1+x2) +2，根据韦达定理得：x1+x2=-

4

3

2

，x1x2=

2

3

，由此得

OA

•

OB

=

2

3

．

解答：解：（1）由题意知：

|b|

1+k2

=1，∴b=

1+k2

，
又

y=kx+b x2+2y2-2=0

，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴|AB|=

1+k2

•

2 2 |k|

1+2k2

=

4

3

，
解得k=1或k=-1（舍）．
所以求直线l的方程为x-y+

2

=0．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=2x1x2+

2

(x1+x2) +2，
根据韦达定理得：x1+x2=-

4

3

2

，x1x2=

2

3

，
代入上式，得

OA

•

OB

=

2

3

．

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．