Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列命题中正确的是

①③④

．
①点P在线段BC₁上运动时，三棱锥C-D₁AP的体积不变；
②点P在线段BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③点P在线段BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④点P在线段BC₁上运动时，|PD|=|PA₁|恒成立．

Answer 1

分析：根据点C到平面D₁AP的距离为定值和S_△AD1P是定值，可得三棱锥C-D₁AP的体积不变，①正确；通过计算可得直线AP与平面ACD₁所成角的大小在变化，②不正确；根据二面角的定义，可得二面角P-AD₁-C即平面ABC₁D₁与平面AD₁C所成的锐二面角，③正确；设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为a，BP到BC的距离为x，则可得|PD|与|PA₁|关于a、x的式子，得到
|PD|=|PA₁|恒成立，故④正确．

解答：解：对于①，V_C-D1AP=

1

3

S_△AD1P•h，其中h是点C到平面D₁AP的距离
因为S_△AD1P等于四边形ABC₁D₁面积的一半，是定值，
h等于正方体棱长的

2

2

也是定值，
故三棱锥C-D₁AP的体积不变，①正确；
对于②，在点P从B点向C₁点运动过程中，直线AP与平面ACD₁所成角的大小从arcsin

3

3

逐渐变为arcsin

1

3

，越来越小，故②不正确；
对于③，二面角P-AD₁-C即平面ABC₁D₁与平面AD₁C所成的锐二面角
因此二面角P-AD₁-C的大小不变，故③正确；
对于④，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为a，BP到BC的距离为x，（0≤x≤a）
根据空间线面垂直的位置关系，结合勾股定理，可得|PD|=|PA₁|=

a2+x2+(a-x)2

，故④正确．
故答案为：①③④

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了空间直线与平面所成角、平面与平面所成角、体积的计算和距离的计算等知识，属于中档题．