Question

7．已知命题p：x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的两个实根，且不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式x²+2x+a＜0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的两个实根，可得△≥0．利用根与系数的关系|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$．即可得出最小值．不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|对任意m∈R恒成立，解得a范围；命题q：不等式x²+2x+a＜0有解，可得△＞0，解得a范围．由于命题p∨q为真，p∧q为假，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命题p：x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的两个实根，∴△=m²+4≥0．x₁+x₂=m，x₁x₂=-1．
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$．
∵不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|对任意m∈R恒成立，∴a²+4a-3≤2，解得-5≤a≤1；
命题q：不等式x²+2x+a＜0有解，∴△=4-4a＞0，解得a＜1．
∵命题p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5≤a≤1}\\{a≥1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-5或a＞1}\\{a＜1}\end{array}\right.$，
解得a=1，或a＜-5．
∴a的取值范围是a=1或a＜-5．

点评 本题考查了一元二次方程及其一元二次不等式的解法与判别式的关系、根与系数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．