Question

11．已知函数$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}（a∈R）$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，（不需证明）
（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意：$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是定义域为R的奇函数，则f（0）=0即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，求出a的值，再进一步验证；
（2）函数f（x）是单调递增函数；
（3）由（2）得f（kt²+2）+f（t²-tk）＞0，即kt²+2＞-t²+tk，再分类讨论则可得答案．

解答 解：（1）由题意：$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，
∴a=1．
当a=1时，$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，
$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}=-\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^x}+1}}=-f（x）$，
故a=1满足题意；
（2）单调递增函数；
（3）由（2）得f（kt²+2）+f（t²-tk）＞0等价于f（kt²+2）＞-f（t²-tk），
即kt²+2＞-t²+tk，
∴（k+1）t²-tk+2＞0对任意t∈R恒成立，
①k=-1时，t+2＞0不恒成立，
②k≠-1时，$\left\{\begin{array}{l}{k+1＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{k+1＞0}\\{{k}^{2}-8k-8＜0}\end{array}\right.$解得：k∈（-1，$4+2\sqrt{6}$）．
∴k的取值范围是：（-1，$4+2\sqrt{6}$）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．