Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}，x＜1}\\{alnx，x≥1}\end{array}\right.$，a∈R．
（1）当x＜1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer 1

分析 （1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，求导f′（x）=-3x²+2x=-3x（x-$\frac{2}{3}$），从而由导数的正负确定函数的单调性及极值；
（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，由题意可设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），且t≠1，由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0可得-t²+f（t）（t³+t²）=0，从而讨论判断方程是否有解即可．

解答 解：（1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，
f′（x）=-3x²+2x=-3x（x-$\frac{2}{3}$），
故f（x）在（-∞，0）和（$\frac{2}{3}$，1）上单调递减，在（0，$\frac{2}{3}$）上单调递增．
∴当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0；
当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）取得极大值f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$．
（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），且t≠1．
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
所以$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
即：-t²+f（t）（t³+t²）=0 ①，
是否存在点P，Q等价于方程①是否有解．
若0＜t＜1，则f（t）=-t³+t²，
代入方程①得：t⁴-t²+1=0，此方程无实数解；
若t≥1，则f（t）=alnt，代入方程①得：$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt，
设h（t）=（t+1）lnt（t≥1），
则h′（t）=lnt+$\frac{1}{t}$+1＞0在[1，+∞）上恒成立，
所以h（t）在[1，+∞）上单调递增，
从而h（t）≥h（1）=0，
所以当a＞0时，方程$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt有解．
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

点评 本题考查了导数的综合应用及平面向量的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．