Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB，要证PB⊥DM，只需证明PB垂直DM所在平面ADMN．即可．
（Ⅱ）连接DN，说明∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，在Rt△BDN中，解BD与平面ADMN所成的角．
法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC=1，（Ⅰ）求出

PB

，

DM

；计算

PB

•

DM

=0，就证明PB⊥DM．
（Ⅱ）说明＜

PB

•

AD

＞的余角即是BD与平面ADMN所成的角，求出cos＜

PB

•

AD

＞=

π

3

，即可得到BD与平面ADMN所成的角．

解答：解：方法一：
（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB，
所以AN⊥PB．

因为AD⊥面PAB，
所以AD⊥PB．
从而PB⊥平面ADMN．因为DM?平面ADMN
所以PB⊥DM．
（Ⅱ）连接DN，
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．
在Rt△BDN中，sin∠BDN=

BN

BD

=

1

2

，
故BD与平面ADMN所成的角是

π

6

．
方法二：
如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC=1，
则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）
（Ⅰ）因为

PB

•

DM

=(2，0，-2)(1，-

3

2

，1)=0
所以PB⊥DM．
（Ⅱ）因为

PB

•

AD

=(2，0，-2)•(0，2，0)=0
所以PB⊥AD．
又PB⊥DM．
因此＜

PB

•

AD

＞的余角即是BD与平面ADMN．
所成的角．
因为cos＜

PB

•

AD

＞=

π

3

所以＜

PB

•

AD

＞=

π

3

因此BD与平面ADMN所成的角为

π

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．