Question

6．已知命题p：函数f（x）=lg（x²-2x+a）的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax²-ax-6+a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而得到答案．

解答 解：当P真时，f（x）=lg（x²-2x+a）的定义域为R，
有△=4-4a＜0，
解得a＞1．…..（2分）
当q真时，即使g（x）=ax²-ax-6+a在x∈[1，3]上恒成立，
则有a＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$在x∈[1，3]上恒成立，
而当x∈[1，3]时，$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{6}{{（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}$≥$\frac{6}{7}$，
故a＜$\frac{6}{7}$．…..（5分）
又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..（6分）
当p真q假时，a＞1．…..（8分）
当p假q真时，a＜$\frac{6}{7}$…..（10分）
所以实数a的取值范围是（-∞，$\frac{6}{7}$）∪（1，+∞）…..（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查复合命题，函数恒成立问题，函数的最值与值域，难度中档．