Question

16．已知z是复数，z-3i为实数，$\frac{z-5i}{2-i}$为纯虚数（i为虚数单位）．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）求$\frac{z}{1-i}$的模．

Answer 1

分析 （I）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
（II）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），
∴z-3i=a+（b-3）i为实数，可得b=3，
又∵$\frac{a-2i}{2-i}$=$\frac{2a+2+（a-4）i}{5}$为纯虚数，
∴a=-1，即z=-1+3i．
（Ⅱ）$\frac{z}{1-i}$=$\frac{-1+3i}{1-i}$=$\frac{（-1+3i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{-4+2i}{2}$=-2+i，
∴|z|=$\sqrt{（-2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．