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16.已知z是复数,z-3i为实数,$\frac{z-5i}{2-i}$为纯虚数(i为虚数单位).
(Ⅰ)求复数z;
(Ⅱ)求$\frac{z}{1-i}$的模.

分析 (I)利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.
(II)利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.

解答 解:(Ⅰ)设z=a+bi(a,b∈R),
∴z-3i=a+(b-3)i为实数,可得b=3,
又∵$\frac{a-2i}{2-i}$=$\frac{2a+2+(a-4)i}{5}$为纯虚数,
∴a=-1,即z=-1+3i.
(Ⅱ)$\frac{z}{1-i}$=$\frac{-1+3i}{1-i}$=$\frac{(-1+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$=$\frac{-4+2i}{2}$=-2+i,
∴|z|=$\sqrt{(-2)^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$.

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

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