Question

10．已知点A（-2，$\sqrt{3}$）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1内一点，F₂为其右焦点，M为椭圆上一动点．
（1）求|AM|+|MF₂|的最大值；
（2）求|AM|+2|MF₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，b，c，以及焦点坐标，由椭圆的第一定义可得|MF₁|+|MF₂|=2a=8，|AM|+|MF₂|=8+|MA|-|MF₁|，由A，B，F₁共线即可得到最大值；
（2）求得椭圆的离心率，运用椭圆的第二定义，可得|AM|+2|MF₂|=|MA|+d，过A作右准线的垂线，即可得到最小值．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2，
焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的第一定义可得|MF₁|+|MF₂|=2a=8，
|AM|+|MF₂|=8+|MA|-|MF₁|，
连接AF₁，延长交椭圆于B，即有|BA|-|BF₁|=|AF₁|=$\sqrt{3}$，
此时取得最大值，且为8+$\sqrt{3}$；
（2）椭圆的右准线为x=8，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，由椭圆的第二定义可得e=$\frac{|M{F}_{2}|}{d}$（d为M到右准线的距离），
即有|MF₂|=ed=$\frac{1}{2}$d，
|AM|+2|MF₂|=|MA|+d，
过A作右准线的垂线，交点为P，由A，M，P共线，
可得|MP|为|AM|+2|MF₂|的最小值，
且为8+2=10．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，注意运用椭圆的两个定义，结合三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题．