Question

已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分别为椭圆c的左右焦点，点P在椭圆C上（不是顶点），△PF₁F₂内一点G满足3

PG

=

PF1

+

PF2

，其中

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)．
（I）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C短轴长为2

3

，过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若

AF2

=2

F2B

，求△F₁AB面积．

Answer 1

分析：（I）先确定G是△PF₁F₂的重心，坐标为(

1

9

a，

6

9

a)，从而可得P的坐标，利用点P在椭圆C上，即可求得椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求出椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，设直线AB的方程为x=my+1，与

x2

4

+

y2

3

=1，利用韦达定理及向量条件，可求得m=±

2 5

5

，进而利用|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，S=

1

2

|y1-y2| |F1F2|，即可求得△F₁AB面积．

解答：解：（I）由

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)，可得G的坐标为(

1

9

a，

6

9

a)
∵3

PG

=

PF1

+

PF2

，
∴G是△PF₁F₂的重心
令P的坐标是（x₀，y₀），则有

1 9 a= x0 3 6 9 a= y0 3

，∴

x0= a 3 y0= 6 a 3

∵点P在椭圆C上，∴

a2

9a2

+

6a2

9b2

=1
∴3a²=4b²，即4c²=a²，∴e=

1

2

；
（Ⅱ）∵椭圆C短轴长为2

3

，3a²=4b²
∴a=2，b=

3

，c=1
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

AF2

=2

F2B

，∴y₁=-2y₂①
设直线AB的方程为x=my+1，与

x2

4

+

y2

3

=1联立，消元整理可得（3m²+4）y²+6my-9=0
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

②，y1y2=-

9

3m2+4

③
由①②③，可得m=±

2 5

5

∴y1+y2=±

3 5

8

，y1y2=-

45

32

∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

9

8

5

∴△F₁AB面积S=

1

2

|y1-y2| |F1F2|=

1

2

×

9 5

8

×2=

9 5

8

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积，属于中档题．