Question

sina=

1

2

（x+

1

x

）（x≠0），则a的值为（　　）

• A、2kπ，k∈z
• B、kπ，k∈z
• C、2kπ+

  π

  2

  ，k∈Z
• D、kπ+

  π

  2

  ，k∈z

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：当x＞0时，利用基本不等式的性质可得

1

2

(x+

1

x

)≥1，同理当x＜0时，

1

2

(x+

1

x

)≤-1．得到

1

2

(x+

1

x

)∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．而sinx∈[-1，1]．可得sina=±1．利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：当x＞0时，

1

2

(x+

1

x

)≥

1

2

×2×

x• 1 x

=1，当且仅当x=1时取等号．
同理当x＜0时，

1

2

(x+

1

x

)≤-1，当且仅当x=-1时取等号．
∴

1

2

(x+

1

x

)∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
而sinx∈[-1，1]．
∴sina=±1．
∴a=kπ+

π

2

（k∈Z）．
故选：D．

点评：本题考查了基本不等式的性质、正弦函数的单调性，属于基础题．