Question

设点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，其中F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线的离心率为

5

．

Answer 1

分析：根据点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点可得点P到原点的距离，∠F₁PF₂=90°，再根据|PF₁|=2|PF₂|，借助于双曲线的定义，利用勾股定理，可求得结论．

解答：解：∵点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点
∴点P到原点的距离|PO|=

a2+b2

=c，∠F₁PF₂=90°，
∵|PF₁|=2|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∴16a²+4a²=4c²，
∴5a²=c²，
∴e=

c

a

=

5

故答案为：

5

点评：本题重点考查圆与双曲线的性质，确定|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，是解题的关键．