Question

14．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心、椭圆的短半径为半径的圆与直线l：x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点，设直线PB的方程y=k（x-4），B（x₁，y₁），A（x₁，-y₁），求直线AE与x轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过联立e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$、b=$\frac{|0-0+\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}$，计算即得结论；
（Ⅱ）通过将y=k（x-4）代入椭圆方程，利用韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$、x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，通过设直线AE的方程为y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•（x-x₂），利用y=0并代入x₁+x₂、x₁x₂的值化简即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，∴a²=$\frac{4}{3}$b²，
∵以原点为圆心、椭圆的短半径为半径的圆与直线l：x-y+$\sqrt{6}$=0相切，
∴b=$\frac{|0-0+\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴b²=3，a²=4，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）依题意，将y=k（x-4）代入椭圆方程，
得：（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
设E（x₂，y₂），则直线AE的方程为：y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•（x-x₂），
令y=0，则x=x₂-$\frac{{y}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2{x}_{2}{x}_{1}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$，
代入x₁+x₂、x₁x₂的值并化简，得x=1，
∴直线AE与x轴的交点坐标为（1，0）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．