Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足，T_n为{b_n}的前n项和，求证：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*；
（Ⅲ）是否存在正整数m，d，使得成立？若存在，请求出m和d的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）已知式即，故．
因为a_n≠0，当然a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
由于，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由，得，，
故．
从而．
=
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=-log₂（2n+1）
==．
设，
则，
故=，
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地，从而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅲ）易得．
注意到a₈=8，则有，
即，整理得3^m-3^m-d=8．①
当m≥d时，由①得3^m-d（3^d-1）=8．
因为m，d∈N^*，所以m=d=2．
当m＜d时，由①得3^d-1=8•3^d-m．②
因为m＜d，故②式右边必是3的倍数，而左边不是3的倍数，所以②式不成立，
即当m＜d时，不存在m，d∈N^*，使得①式成立．
综上所述，存在正整数m=d=2，
使得成立．
分析：（Ⅰ）由题设条件可知．所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．由此可以导出a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由，得，，故．从而．由此入手能够证明2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅲ）由题意知．a₈=8，所以，由此入手能够推导出存在正整数m=d=2，使得成立．
点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．