Question

设函数（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为，求a，b的值．

Answer 1

解：（1）由，所以当a=b=1时，
则=-3（x²-1）．
在（0，1）内，，在（1，2）内，，
所以在（0，1）内，为增函数，在（1，2）内为减函数．
则f₃（x）的极大值为f₃（1）=3，由f₃（0）=1，．
所以函数在[0，2]上的最大值为f₃（1）=3，最小值为f₃（2）=-1；
（2）因为对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，
所以|f₃（1）-f₃（-1）|≤1，从而有|（-1+3a+b）-（1-3a+b）|=|6a-2|≤1，
所以．
又=-3（x²-a），
在内f^′₃（x）0，
所以f₃（x）在内为减函数，
f₃（x）在内为增函数，
只需，则
即，解得：．
所以a的取值范围是．
（3）．
由f₄（x）在[-1，1]上的最大值为，则，
所以，即①
，即②
①+②得，，又因为，所以，所以．
将代入①得：，
将代入②得：≤a≤0．
所以a=0．
综上知a，b的值分别为0，．
分析：（1）把a，b的值代入函数解析式求出，求导后利用导函数的零点将（0，2）分段，由单调性判出极值点，求出极值，再求出端点值，则f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值可求；
（2）根据对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，说明当x取两个特殊值-1和1时|f₃（1）-f₃（-1）|≤1成立，由此求出a的初步范围，然后把原函数f₃（x）求导，得到导函数的两个零点为，再求出函数f₃（x）在（-1，1）上的极大值和极小值，再由极大值和极小值差的绝对值小于等于1求出a的取值范围，和由|f₃（1）-f₃（-1）|≤1求出的a的范围取交集即可；
（3）由|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为，则x取-1和1时的函数值都在和之间，联立解出b的范围，再由x取0时的函数值也在和之间，得到b的范围，两者结合即可求出b的值，把b的值代入x取-1和1时的式子，即可得到a的值．
点评：本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是特值化思想的应用，求具体参数的值时运用了“两边夹”的思想方法，属有一定难度题．