Question

17．ABCD-A₁B₁C₁D₁是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i∈N^*），设黑白蚂蚁都爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． 0
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根据题意，通过前几步爬行观察白蚂蚁与黑蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．再计算黑蚂蚁与白蚂蚁爬完2015段后，各自达哪个点顶点处，利用正方体的性质和棱长为1加以计算，即可得到此时它们的距离．

解答 解：由题意，可得白蚂蚁爬行路线为AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，即走过6段后又回到起点A，可以看作以6为周期，
同理，黑蚂蚁也是过6段后又回到起点A，以6为周期．
因此，白蚂蚁爬完2010段后回到A点，再爬5段：AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB到达终点B，
同理可得黑蚂蚁爬完2010段后到回到A点，再爬5段：AB→BB₁→B₁C₁→C₁D₁→D₁D到达的终点D．
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，∴BD=$\sqrt{2}$，
可得黑白二蚁走完第2015段后，它们的距离是$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题以一个创新例子为载体，考查正方体的性质和距离的计算，同时考查了归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于中档题．