Question

（08年宝鸡市质检二理）  在直角坐标系中，已知定点F(1,0)设平面上的动点M在直线上的射影为N，且满足.

    （1）求动点M的轨迹C的方程；

    （2）若直线l是上述轨迹C在点M（顶点除外）处的切线，证明直线MN与l的夹角等于直线ME与l的夹角;

    （3）设MF交轨迹C于点Q，直线l交x轴于点P，求△MPQ面积的最小值.

 

Answer 1

解析：（1）由题意，易知动点在y轴上及右侧（x≥0）.

    且记它在x = -1上的射影为N'，∵|MN| =|MF|+1，∴|MN'| = |MF|，∴动点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，以直线x = -1为准线的抛物线，.

（2），设l与MN夹角为，l与M夹角为由于抛物线C关于x轴对称，不妨设 

（解法1）当时，，从而∴直线l的斜率.   又直线MF的斜率，

   

（解法2）设直线l的方程为

    将直线方程代入抛物线方程并整理得

   

    整理得

    又

   

    又由于直线的斜率

    . ∴l为∠FMN的平分线.

（3）设则.

    直线l的方程为，令得P点坐标

   

    ，

    令得时，