Question

4．已知函数f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωx•sinωx，其中ω＞0，若f（x）相邻两条对称轴间的距离不小于$\frac{π}{2}$
（1）求ω的取值范围及函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=$\sqrt{3}$，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求sinB•sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式、余弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式表示出
f（x）的最小正周期，结合条件列出不等式求出ω的范围，由正弦函数的增区间求出f（x）的递增区间；
（2）由（1）化简f（A）=1，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A，由条件和余弦定理求出bc的值，由正弦定理和条件求出sinB、sinC，即可求出sinB•sinC的值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωx•sinωx
=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$；…3分
由ω＞0得，函数f（x） 的周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$，
∵f（x）相邻两条对称轴间的距离不小于$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}≥\frac{π}{2}$，则$\frac{π}{ω}≥π$，解得0＜ω≤1，
∴ω的取值范围是（0，1]．…4分
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{3ω}≤x≤\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{6ω}（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间为$[\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{3ω}，\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{6ω}]（k∈Z）$； …6分
（2）由（1）可知ω的最大值为1，
∴f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，由f（A）=1得$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π得$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，…7分
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
把a=$\sqrt{3}$代入化简得，b²+c²-bc=3，…8分
又b+c=3联立解得bc=2，…9分
由正弦定理知$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=2R（R为△ABC的外接圆半径），…10分
又2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，∴sinB=$\frac{b}{2R}=\frac{b}{2}$，sinC=$\frac{c}{2R}=\frac{c}{2}$，…11分
∴sinBsinC=$\frac{b}{2}•\frac{c}{2}=\frac{1}{2}$  …12分．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角函数的周期公式，三角恒等变换中的公式，以及正弦定理、余弦定理的综合应用，考查整体思想，化简、变形能力．