【题目】如图,在直角三棱柱中,、分别为、的中点,,.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)若直线和平面所成角的正弦值等于,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)如图所示,取AB的中点M,连接MF,利用三角形中位线定理及其培训说不定判定定理可得四边形MFC1E是平行四边形,于是C1F∥EM,再利用线面平行的判定定理即可判断出结论;
(2)由直三棱柱ABC﹣A1B1C1,可得BB1⊥底面ABC,BB1⊥AB,再利用线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理即可证明结论;
(3)由(2)可知:AB⊥BC.可建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面ABE和平面CBE的法向量,代入公式,即可得到结果.
(1)证明:如图所示,取AB的中点M,连接MF,
则MFAC,又EC1AC,
∴EC1MF,
∴四边形MFC1E是平行四边形,
∴C1F∥EM,又C1F平面ABE;
EM平面ABE;
∴C1F∥平面ABE.
(2)证明:由直三棱柱ABC﹣A1B1C1,∴BB1⊥底面ABC,
∴BB1⊥AB,又C1F⊥AB,BB1与C1F相交,
∴AB⊥平面ABE,又AB平面ABE,
∴平面ABE⊥平面B1BCC1;
(3)解:由(2)可知:AB⊥BC.
因此可建立如图所示的空间直角坐标系.F(0,1,0),设C1(0,2,t)(t>0),(0,1,t).
由题意可取平面ACC1A1的法向量为(1,1,0).
∵直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于,
∴|cos|,
解得t=2.
∴E(1,1,2),A(2,0,0),C(0,2,0),(2,0,0),(1,1,2),(0,2,0).
设平面ABE的法向量为(x,y,z),则0,
可得:x
同理可得平面CBE的法向量为(2,0,﹣1).
∴cos.
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为.
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【题目】某企业生产的A产品被检测出其中一项质量指标存在问题,该企业为了检查生产A产品的甲、乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品,表格是甲流水线样本的频数分布表,图形是乙流水线样本的频率分布直方图.
(1)根据图形,估计乙流水线生产的A产品的该质量指标值的中位数;
(2)设某个月内甲、乙两条流水线均生产了3000件产品,若将频率视为概率,则甲、乙两条流水线生产出的合格产品分别约为多少件?
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【题目】设函数是定义域为的奇函数.
(1)若,求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围;
(2)若函数的图象过点,是否存在正数,使函数在上的最大值为0?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m,0)(m为常数,且m∈(0,2))的直线与椭圆C交于A,B两点,与l交于点P,D是弦AB的中点,直线OD与l交于点Q.
(1) 求椭圆C的标准方程.
(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点.若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】从某校期中考试数学试卷中,抽取样本,考察成绩分布,将样本分成5组,绘成频率分布直方图,图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1:3:6:4:2,第一组的频数是4.
(1)求样本容量及各组对应的频率;
(2)根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数(结果保留两位小数).
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【题目】如图,抛物线的顶点在原点,圆的圆心恰是抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程;
(2)一条直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于、、、四点,求的值.
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【题目】某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足l小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为,,且两人健身时间都不会超过3小时.
(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;
(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
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