Question

已知数列{a_n}满足a_n=a_n+1+4，a₁₈+a₂₀=12，等比数列{b_n}的首项为2，公比为q．
（Ⅰ）若q=3，问b₃等于数列{a_n}中的第几项？
（Ⅱ）数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别记为S_n和T_n，S_n的最大值为M，当q=2时，试比较M与T₉的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据等比数列的性质求出b₃，然后由a_n=a_n+1+4，可知{a_n}是公差d=-4的等差数列，根据a₁₈+a₂₀=12，求出数列的首项和公差，从而求出数列的通项，令a_n=b₃求出n的值，从而得到所求；
（II）根据等比数列的求和公式求出T₉，然后根据等差数列的求和公式求出S_n，根据二次函数的性质求出S_n的最大值M，从而得到M与T₉的大小．
解答：解：（I）b₃=b₁q²=18．                                      …（2分）
由a_n=a_n+1+4，得a_n+1-a_n=-4，即{a_n}是公差d=-4的等差数列．…（3分）
由a₁₈+a₂₀=12，得a₁+18d=6⇒a₁=78
∴a_n=78+（n-1）（-4）=-4n+82
令-4n+82=b₃=18，得n=16
∴b₃等于数列{a_n}中的第16项
（II）∵b₁=q=2
∴T₉==2¹⁰-2=1022
又S_n=78n+=-2n²+80n=-2（n-20）²+800
∴n=20时，最大值M=800
∴M＜T₉
点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．