Question

【题目】已知f（x）＝ax－ －5ln x，g（x）＝x2－mx＋4.

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求a的值；

（2）当a＝2时，若x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[8－5ln 2，＋∞）．

【解析】

试题分析：（1）由极值的定义知，只要求出，据此可求得；（2）命题“若x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立”，可转化为，因此只要求出两函数的最大值可列出相应不等式得出的范围，考虑到是二次函数，二次项系数为正，因此最大值在区间的两端点处取得，为了避免讨论可列出不等式组．

试题解析：（1），又因为2是极值点，则，由此，

经检验，当时，2是极值点，故满足题意

（2）当a＝2时，f（x）＝2x－ －5ln x，

∴当x∈（0，）时，f ′（x）>0，f（x）单调递增；

当x∈（，1）时，f ′（x）<0，f（x）单调递减．

∴在（0,1）上，f（x）max＝f（）＝－3＋5ln2.

又“x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立”等价于“f（x）在（0,1）上的最大值不小于g（x）在[1,2]上的最大值”，而g（x）在[1,2]上的最大值为max{g（1），g（2）}，

∴，即

解得m≥8－5ln 2.

∴实数m的取值范围是[8－5ln 2，＋∞）