Question

2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{π}{4}$$＜B＜\frac{π}{2}$，acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，则tan2B•tan³A的最大值为-512．

Answer 1

分析 首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosB-2RsinBcosA=$\frac{3}{5}$2RsinC，然后利用诱导公式、同角的三角函数的基本关系式及两角和与差的正弦公式可得tanA=4tanB，再根据两角差的正切公式、均值不等式求解即可．

解答 解：∵acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，
∴2RsinAcosB-2RsinBcosA=$\frac{3}{5}$2RsinC，
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC，
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sin（A+B），
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$（sinAcosB+sinBcosA），
∴2sinAcosB=8sinBcosA，
∴tanA=4tanB，
∵$\frac{π}{4}$$＜B＜\frac{π}{2}$，
∴tanB＞1，
∴tan2B•tan³A=$\frac{2tanB}{1-{tan}^{2}B}$•tan³A=$\frac{128ta{n}^{4}B}{1-{tan}^{2}B}$，
令x=tan²B，则t＞1，
y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$，则y′=$\frac{128{（2-t}^{\;}）}{{（1-t）}^{2}}$，
当1＜t＜2时，y′＞0，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$为增函数，
当t＞2时，y′＜0，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$为减函数，
故当t=2时，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$取最大值-512，
故答案为：-512．

点评 本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、两角差的正切公式、同角的三角函数的基本关系式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力，考查了转化思想，属于中档题．