Question

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M.

(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求直线CD与平面ACM所成的角的大小.

Answer 1

(1)依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC.

又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD.

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；＝(2,4,0)，＝(0,2,2)，＝(－2,0,0)

设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥，可得：，令z＝1，

n＝(2，－1,1).设所求角为α，则sinα＝||＝.

所以所求角的大小为arcsin.