Question

【题目】已知椭圆E： 过点 ，离心率为 ，点F1 ， F2分别为其左、右焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且 ？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：e= ，a2﹣b2=c2，

且 + =1，

解得 ，a=2，b=1，

所以椭圆E方程为

（2）解：假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）．

当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，

由 得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4=0，

令P（x1，y1），Q（x2，y2），

可得 ， ，

∵ ，∴x1x2+y1y2=0

∴ ，

∴5m2=4k2+4，

由直线PQ与圆相切，则 ，

所以存在圆 ．

当直线PQ的斜率不存在时，也适合 ．

综上所述，存在圆心在原点的圆 满足题意．

由弦长公式可得：

= = ，

又 ，代入上式可得： ，

令4k2+1=t，即 ，

则 ，

当 时，即 时， ，

当直线l的斜率k不存在时， ，

所以

【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和A在椭圆上，满足椭圆方程，解方程即可得到所求椭圆的方程；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由 ，可得x1x2+y1y2=0，代入化简整理，再由直线和圆相切的条件，即可得到满足条件的圆存在；运用弦长公式，化简整理，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值．