Question

已知动圆P过点(0，

1

4a

)(a＞0)且与直线y=-

1

4a

相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）设直线y=x+2与轨迹E交于点A、B，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交轨迹E于N．
①证明：轨迹E点N处的切线l与AB平行；
②是否存在实数a，使

NA

•

NB

=0？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意E的轨迹是以为(0，

1

4a

)(a＞0)焦点，y=-

1

4a

为准线的抛物线方程，由此能求出E的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y=x+1 y=ax2

得：ax²-x-2=0．△△=1+8a＞0⇒a＜-

1

8

．再由韦达定理结合题设条件能够求出存在实数a=

7

8

，使得

NA

•

NB

=0．

解答：解：（1）∵动圆P过点(0，

1

4a

)(a＞0)且与直线y=-

1

4a

相切．
∴E的轨迹是以为(0，

1

4a

)(a＞0)焦点，
y=-

1

4a

为准线的抛物线方程
所以E的轨迹方程为：y=ax²（a＞0）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=x+1 y=ax2

，
得：ax²-x-2=0，△=1+8a＞0⇒a＜-

1

8

，
x1+x2=

1

a

，x1x2=-

2

a

∴xN=xM=

x1+x2

2

=

1

2a

，
∴yN=ax2=

1

4a

．
①由y′=（ax²）′=2ax，
得：kl=y′|x=xN=2a•

1

2a

=1，
∴l∥AB．
②假设存在实数a，使得

NA

•

NB

=0，
则

NA⊥NB MA=MB

⇒|MN|=

1

2

|AB|．
由MN⊥x轴知：|MN|=|

1

2a

+2-

1

4a

|=

1

4a

+2．
又|AB|=

2

|x1-x2|=

2

1 a2 + 8 a

∴(

1

4a

+2)2=

1

4

×2(

1

a2

+

8

a

)⇒a=

7

8

或a=-

1

8

（舍去）
故存在实数a=

7

8

，使得

NA

•

NB

=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．