Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F₁F₂为斜边作等腰直角三角形F₁MF₂，如果线段MF₁的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（　　）

• A、

  6

  +

  2

• B、

  6

  -

  2

• C、

  10 + 2

  2

• D、

  10 - 2

  2

Answer 1

分析：记双曲线的焦距为2C、依题意知点M在y轴上，不妨设F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则可表示出F₁和M的坐标，进而可表示出线段MF₁的中点坐标代入双曲线方程，化简整理即可求得e．

解答：解：记双曲线的焦距为2C、依题意知点M在y轴上，
不妨设F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则有F₁（-c，0），M（0，c），
∴线段MF₁的中点坐标是（-

c

2

，

c

2

）．
又∵线段MF₁的中点在双曲线上，
∴

(- c 2 )2

a2

-

( c 2 )2

b2

=1，即

c2

a2

-

c2

b2

=4，

c2

a2

-

c2

c2-a2

=4，（e²）²-6e²+4=0，e²=3±

5

．又e²＞1，
∴e²=3

5

∵（

10 + 2

2

）²=3+

5

，
∴e=

10 + 2

2

．
故选C

点评：本题主要考查了直线与双曲线的关系以及求离心率的问题．考查了学生的综合分析问题和基本的运算能力．