Question

1．设函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{f（x）}$，其中x-log₂f（x）=0，则函数F（x）是（　　）

• A． 奇函数且在（-∞，+∞）上是增函数
• B． 奇函数且在（-∞，+∞）上是减函数
• C． 偶函数且在（-∞，+∞）上是增函数
• D． 偶函数且在（-∞，+∞）上是减函数

Answer 1

分析 根据题意，由对数的运算性质可得f（x）=2^x，进而可得函数F（x）的解析式，对于F（x），先分析其定义域，进而分析可得F（-x）=-F（x），即可得函数F（x）为奇函数，进而利用定义法证明可得函数为增函数，综合可得答案．

解答 解：根据题意，x-log₂f（x）=0，即x=log₂f（x），变形可得f（x）=2^x，
函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{f（x）}$=2^x-2^-x，
其定义域为R，且F（-x）=2^-x-2^x=-F（x），
故函数F（x）奇函数；
函数F（x）=2^x-2^-x=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
设x₁＞x₂，
F（x₁）-F（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-（${2}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$），
又由x₁＞x₂，则${2}^{{x}_{1}}$＞${2}^{{x}_{2}}$，则有${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＞0，
故F（x₁）-F（x₂）＞0，
即函数F（x）为增函数；
故选：A．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是利用对数的运算性质求出f（x）和F（x）的解析式．