Question

已知，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域；
（3）设h（x）=2^-xf（x），a＞0时，对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）令t=log₂x，则x=2^t，
故f（t）=a（2^t）²-2•2^t+1-a．
∴f（x）=a（2^x）²-2•2^x+1-a，
（2）再设m=2^x，则m＞0，y=am²-2m+1-a，
①当a=0时，y=-2m+1（m＞0），在（0，+∞）上是减函数，其值域为（-∞，1）；
②当a＞0时，y=am²-2m+1-a的对称轴m=＞0，
故其在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．其值域为（-+1-a，+∞）；
③当a＜0时，y=am²-2m+1-a的对称轴m=＜0，
故其在（0，+∞）上是减函数．其值域为（-∞，1-a）；
（3）∵h（x）=a•2^x+（1-a）2^-x-2，
∴h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x，
由h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x=0，得x₀=log₂（0＜a＜1）．
由x₀=log₂＞1得0＜a＜，由x₀=log₂＜-1，得a＞，
∵h（0）=-1，h（1）=（a-1），
由f（1）＞f（0），得（a-1）＞-1，得a＞．
①当0＜a≤时，h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x＜0恒成立，函数h（x）在[-1，1]上是减函数，
∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（-1）=-a，最小值是h（1）=（a-1）．
∵对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有成立，
∴-a-（a-1）≤，∴a≥2．不合，舍去．
②当＜a≤时，函数h（x）在[-1，x₀]上是减函数，在（x₀，1]上是增函数
∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（-1）=-a，最小值是h（x₀）=2-2．
∵对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有成立，
∴-a-2+2≤，
∴≥a≥．
③当＜a≤时，函数h（x）在[-1，x₀]上是减函数，在（x₀，1]上是增函数
∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（1）=（a-1），最小值是h（x₀）=2-2．
∵对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有成立，
∴（a-1）-2+2≤，
∴＜a≤．
④当a＞时，h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x＞0恒成立，函数h（x）在[-1，1]上是增函数，
∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（1），最小值是h（-1）．
∵对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有成立，
∴（a-1）+a≤，
∴a≤．不合，舍去．
综上所述，a的取值范围为[，]．
分析：（1）令t=log₂x，则x=2^t，故f（t）=a（2^t）²-2•2^t+1-a．从而得出f（x）的解析式；
（2）设m=2^x，则m＞0，y=am²-2m+1-a，下面对a进行分类讨论：①当a=0时，②当a＞0时，③当a＜0时，分别求出其值域即可；
（3）函数h（x）=a•2^x+（1-a）2^-x-2对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|h（x₁）-h（x₂）|≤恒成立，等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于．
点评：本题考查函数的值域，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查分类讨论的思想．解题的关键是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min．