偶函数满足
,当
时,
,则关于
的方程
在
上解的个数是( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
D
解析试题分析:∵f(x-1)=f(x+1)∴f(x)=f(x+2),
∴原函数的周期T=2,又∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
又∵x∈[0,1]时,,函数的周期为2,
∴原函数的对称轴是x=1,且f(-x)=f(x+2)。
设y1=f(x) ,y2=,方程
根的个数,即为函数y1=f(x) ,y2= y2=
的图象交点的个数.
由以上条件,可画出y1=f(x) ,y2=的图象,
当x=时,y1>y2,当x=1时,y1<y2,
故在(,1)上有一个交点.
结合图象可得在[0,3]上y1=f(x),y2=共有4个交点,
∴在[0,3]上,原方程有4个根,故选D.
考点:本题主要考查函数的奇偶性、周期性、单调性,函数的图象,函数零点的概念,一次函数、指数函数的图象和性质。
点评:难题,本题综合考查函数的奇偶性、周期性、单调性,函数的图象,函数零点的概念,一次函数、指数函数的图象和性质。由已知条件确定函数的性质是解题的关键。
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